某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：（1）仓库

Question

某单位决定投资3200元建一仓库（长方体形状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅， 每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：（1）仓库面积S的最大值是多少？（2）为使S最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

Answer 1

设：正面建X米，两侧建Y米。 40X+2×45Y+20XY=3200 40X+90Y+20XY=3200 4X+9Y+2XY=320 4X+2XY=320-9Y 2X(2+Y)=320-9Y X=(320-9Y)/2(2+Y) S=XY=(320-9Y)/2(2+Y)×Y=(320Y-9Y²)/(4+2Y) 如果面积S有极大值，对S求导并等于0 S'=[(320Y-9Y²)/(4+2Y)]' =[(4+2Y)(320Y-9Y²)'-(320Y-9Y²)(4+2Y)']/(4+2Y)² =[(320Y)'-(9Y²)']/(4+2Y)-{(320Y-9Y²)[4'+(2Y)']}/(4+2Y)² =(320-18Y)/(4+2Y)-[(320Y-9Y²)(0+2)]/(16+16Y+4Y²) =[(320-18Y)(4+2Y)-(640Y-18Y²)]/(16+16Y+4Y²) =(1280+640Y-72Y-36Y²-640Y+18Y²)/(16+16Y+4Y²) =(1280-72Y-18Y²)/(16+16Y+4Y²)=0 (1280-72Y-18Y²)/(16+16Y+4Y²)=0 1280-72Y-18Y²=0 640-36Y-9Y²=0 9Y²+36Y-640=0 (3Y+32)(3Y-20)=0 ∵3Y+32=0，∴Y1=-32/3（负数没有意义，舍去） ∵3Y-20=0，∴Y2=20/3（米） X=(320-9Y)/2(2+Y) =[320-9(20/3)]/2(2+(20/3) =(320-60)/[(12+20)/3] =260/(32/3) =24.375（米） S=XY=24.375×20/3=162.5（平方米） 答：仓库面积的最大值是162.5平方米，正面铁栅应设计20/3米。