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有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂,相邻两节不能同色,那么可以染成多少种不同的圆棒?
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有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂,相邻两节不能同色,那么可以染成多少种不同的圆棒?
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答案和解析
用1,2,3三个数分别代表三种颜色,它们组成的一个五位数代表一种涂法.每一位数都可能有三种取法,即1,2,3.因此,可能有3×3×3×3×3=243个不同的五位数.由于棒的规格相同,均匀,又都是等分为五节.因此,将一个涂过色的棒倒转180°来看,它可能与另一个棒的涂色完全一样,这两个棒只能是同一种着色.这就是说一个数与它的反序数代表同一种涂法,即12332,23321代表同一种涂法.但是,有些数的反序数就是它自身,如11111,12321.这样的数只要确定前三位,它就确定了.因此一共有3×3×3=27(个).
从243个不同的五个数中去掉这27个,还有243-27=216(个).这216个数中每一个数和它的反序数都代表同一种着色方法,即两个数决定一种着色方法.所以216个数代表216÷2=108(种)着色方法,连同前面27种,一共有135种不同着色的棒.
从243个不同的五个数中去掉这27个,还有243-27=216(个).这216个数中每一个数和它的反序数都代表同一种着色方法,即两个数决定一种着色方法.所以216个数代表216÷2=108(种)着色方法,连同前面27种,一共有135种不同着色的棒.
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