如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、BC为边在三角形外作等边三角形ABD和BCE，连接AE和DC相交于点M，试判断AE和DC的数量关系，说明理由，并求出∠CME的度数．

Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB、BC为边在三角形外作等边三角形ABD和BCE，连接AE和DC相交于点M，试判断AE和DC的数量关系，说明理由，并求出∠CME的度数．

Answer 1

AE=DC．理由如下：
∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB=AD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=∠BCE=∠BEC=60°，
∴∠DBC=∠ABE，
在△ABE和△DBC中，

AB＝DB

∠ABE＝∠DBC

BE＝BC

∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE=DC，∠AEB=∠DCB，
在△MCE中，∠CME+∠MCE+∠MEC=180°，
即∠CME+（∠DCB+60°）+（60°-∠AEB）=180°，
∴∠CME=60°．