已知函数f(x)=sin(wx+φ)-cos(wx+φ)为偶函数且函数y=f(x)图像的两相邻对线轴的距离为π/2.（1）求f(π/8)的值(2)将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位,得到y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间为什么Sinwx

Question

已知函数f(x)=sin(wx+φ)-cos(wx+φ)为偶函数
且函数y=f(x)图像的两相邻对线轴的距离为π/2.
（1）求f(π/8)的值
(2)将函数y=f(x)的图像向右平移π/6个单位,得到y=g(x)的图像,求g(x)的单调递减区间
为什么Sinwx不恒等于0,w>0有什么用,周期为什么为π

Answer 1

f(x)=sin(wx+φ)-cos(wx+φ)
=√2[√2/2sin(wx+φ)-√2/2cos(wx+φ)]
=√2sin(wx+φ-π/4)
∵函数y=f(x)图像的两相邻对线轴的距离为π/2.
∴f(x)的半周期T/2=π/2,T=π 【两相邻对线轴的距离为半周期】
由2π/|w|=π得|w|=2,
∵w>0 ∴w=2 （题目没给,应该给出,不然w=-2也可以）
∴f(x)=√2sin(2x+φ-π/4)
∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)
∴sin(-2x+φ-π/4)=sin(2x+φ-π/4)
sin(-2x)cos(φ-π/4)+cos(-2x)sin(φ-π/4)
=sin2xcos(φ-π/4)+cos2xsin(φ-π/4)
∴2sin2xcos(φ-π/4)=0
对任意的x∈R恒成立
∵sin2x不恒等于0（sin2x是变量呀）
∴cos(φ-π/4)=0
即φ-π/4=kπ+π/2
∴φ=kπ+3π/4,k∈Z
取k=0,得φ=3π/4(题目应该给出φ范围）
∴f(x)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x
∴f(π/8)=√2cosπ/4=1
(2)
y=f(x)的图像向右平移π/6个单位,
得到y=g(x)=f(x-π/6)=√2cos[2(x-π/6)]
即g(x)=√2cos(2x-π/3)的图像
由2kπ≤2x-π/3≤2kπ+π,k∈Z
得kπ+π/6≤x≤kπ+2π/3,k∈Z
∴g(x)单调递减区间为
[ kπ+π/6,kπ+2π/3],k∈Z