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关于正四面体ABCD,有以下命题:①正三棱锥都是正四面体;②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,则EF∥AD;③AB⊥CD;④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,则任一面上的
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关于正四面体ABCD,有以下命题:
①正三棱锥都是正四面体;
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,则EF∥AD;
③AB⊥CD;
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
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其中正确的命题有______(填上所有正确命题的序号).
①正三棱锥都是正四面体;
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,则EF∥AD;
③AB⊥CD;
④将等差数列的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,则任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,则它们互相垂直的概率为
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其中正确的命题有______(填上所有正确命题的序号).
▼优质解答
答案和解析
①正三棱锥的侧棱与底面棱长不一定相等,因此不一定是正四面体,不正确;
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,如图1,取BC的中点,连接DM,AM,则
=
=
,因此EF∥AD,正确;
③如图2,设O点为底面ABC的中心,则DO⊥底面ABC,∴DO⊥AB,延长CO交AB于点N,连接DN,则CN⊥AB,∴AB⊥平面CDN,
∴AB⊥CD;
④将等差数列{an}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,可得a1+a4=a2+a3,可得a1+a3+a4=a2+2a3,若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和,则2a3=0,同理可得ai=0(i=1,2,3,4),因此可知:这个等差数列除非是每一项都为0,否则不成立;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,利用③的结论可得:则它们互相垂直的概率p=
=
,正确.
综上可知:只有②③⑤正确.
故答案为:②③⑤.
②若E,F分别为△ABC,△BCD的中心,如图1,取BC的中点,连接DM,AM,则
AE |
EM |
DF |
FM |
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③如图2,设O点为底面ABC的中心,则DO⊥底面ABC,∴DO⊥AB,延长CO交AB于点N,连接DN,则CN⊥AB,∴AB⊥平面CDN,
∴AB⊥CD;
④将等差数列{an}的任意连续四项分别写在四面体的四个面上,可得a1+a4=a2+a3,可得a1+a3+a4=a2+2a3,若任一面上的数字都不可能等于另三个面上的数字之和,则2a3=0,同理可得ai=0(i=1,2,3,4),因此可知:这个等差数列除非是每一项都为0,否则不成立;
⑤从正四面体的六条棱中任选两条,利用③的结论可得:则它们互相垂直的概率p=
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综上可知:只有②③⑤正确.
故答案为:②③⑤.
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