（1） x的n次幂乘以logx的不定积分 （2） （2分之（3的x次幂+5的x次幂））的x分之一次幂 当x趋向于0时极限

Question

（1） x的n次幂乘以logx的不定积分 （2） （2分之（3的x次幂+5的x次幂））的x分之一次幂 当x趋向于0时极限

Answer 1

∫ xⁿ · logx dx
= ∫ xⁿ · lnx/ln10 dx
= 1/ln10 · ∫ xⁿlnx dx
= 1/ln10 · 1/(n + 1) · ∫ lnx d(xⁿ⁺¹)
= xⁿ⁺¹lnx/[(n + 1)ln10] - 1/[(n + 1)ln10] · ∫ xⁿ⁺¹ d(lnx)
= xⁿ⁺¹lnx/[(n + 1)ln10] - 1/[(n + 1)ln10] · ∫ xⁿ⁺¹ · x⁻¹ dx
= xⁿ⁺¹lnx/[(n + 1)ln10] - 1/[(n + 1)ln10] · xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
= xⁿ⁺¹(nlnx + lnx - 1)/[(n + 1)²ln10] + C
lim(x→0) [(3^x + 5^x)/2]^(1/x)
= e^lim(x→0) [ln(3^x + 5^x)]/x
= e^lim(x→0) (3^x · ln3 + 5^x · ln5)/(3^x + 5^x)