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如图,已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形,EA⊥底面ABCD,FD∥EA,且FD=12EA=1.(Ⅰ)求多面体EABCDF的体积;(Ⅱ)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值;(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在
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如图,已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形,EA⊥底面ABCD,FD∥EA,且FD=
EA=1.
(Ⅰ)求多面体EABCDF的体积;
(Ⅱ)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值;
(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
1 |
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(Ⅰ)求多面体EABCDF的体积;
(Ⅱ)求直线EB与平面ECF所成角的正弦值;
(Ⅲ)记线段BC的中点为K,在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)连接ED,
∵EA⊥底面ABCD,FD∥EA,
∴FD⊥底面ABCD,
∴FD⊥AD,FD∩AD=D,
∴AD⊥平面FDC,
VE-PCD=
AD•S△FDC=
×
×1×2×2=
,
VE-ABCD=
EA•S正方形ABCD=
×2×2×2=
,
∴多面体EABCDF的体积V=VE-PCD+VE-ABCD =
+
=
;--------------(5分)
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
∴
=(2,2,-2),
=(2,0,-2),
=(0,2,-1)------(7分)
设平面ECF的法向量为
=(x,y,z),得:
∵EA⊥底面ABCD,FD∥EA,
∴FD⊥底面ABCD,
∴FD⊥AD,FD∩AD=D,
∴AD⊥平面FDC,
VE-PCD=
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3 |
1 |
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VE-ABCD=
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3 |
8 |
3 |
∴多面体EABCDF的体积V=VE-PCD+VE-ABCD =
2 |
3 |
8 |
3 |
10 |
3 |
(Ⅱ)以点A为原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立空间直角坐标系,如图.由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),
∴
EC |
EB |
EF |
设平面ECF的法向量为
n |
作业帮用户
2016-11-19
|
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