向量空间W=｛（x,y,z）｜x+y-2z=0｝,如何确定求出它的一组基,求机算过程.另外,同一空间不同基的向量个数是否相等,如何证明?

Question

向量空间W=｛（x,y,z）｜x+y-2z=0｝,如何确定求出它的一组基,求机算过程.另外,同一空间不同基的向量个数是否相等,如何证明?

Answer 1

由于线性方程组x+y-2z=0只有一个方程,因此R=1,所以基础解系有3-1=2个向量,令y=1,z=0解得x=-1,令y=0,z=1解得x=2,因此该向量空间的一组基为(-1,1,0)^T,(2,0,1)^T.同一空间不同基的向量个数肯定是相等的,因为向量空间的一组基包含的向量个数就是对应线性方程组基础解系里解的个数,而基础解系中包含的解的个数=n-r是个固定的数.