某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y（y吨）和实际养殖量x（吨）

Question

某渔场鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量x要小于m，留出适当的空闲量，空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率，已知鱼群的年增加量y（y吨）和实际养殖量x（吨）与空闲率的乘积成正比（设比例系数k＞0）．
（1）写出y与x的函数关系式，并指出定义域；
（2）求鱼群年增长量的最大值；
（3）当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得空闲率为(m−x)/(m)，则y＝kx•(m−x)/(m)＝kx(1−(x)/(m))，0＜x＜m；
（2）∵y＝−(k)/(m)x2+kx＝−(k)/(m)(x−(m)/(2))2+(mk)/(4)，
∴当x=(m)/(2)时，ymax＝(mk)/(4)；
（3）由题意得：0＜x+y＜m，即0＜(m)/(2)+(mk)/(4)＜m，解得-2＜k＜2．
又∵k＞0，∴0＜k＜2．
∴k的取值范围是（0，2）．