（2013•盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图，当

Question

（2013•盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．
（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；
（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；
（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中，

AB=BC

∠PBA=∠ABC

BP=BF

，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．   
∵PA=PE，
∴PE=FC．        
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠FCB+∠APB=90°．                                
∵∠EPA=90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，
即∠EPC+∠PCF=180°，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°    
∵在△PBA和△FBC中，
 

AB=BC

∠PBA=∠ABC

BP=BF

，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．                                     
∵PA=PE，
∴PE=FC．               
∵∠FCB+∠BFC=90°，
∠EPB+∠APB=90°，
∴∠BPE=∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四边形EPCF是平行四边形；

（3）设BP=x，则PC=3-x  平行四边形PEFC的面积为S，
 S=PC•BF=PC•PB=（3-x）x
=-（x-(3)/(2)）²+(9)/(4)．
∵a=-1＜0，
∴抛物线的开口向下，
∴当x=(3)/(2) 时，S最大=(9)/(4)，
∴当BP=(3)/(2) 时，四边形PCFE的面积最大，最大值为(9)/(4)．