设D1是由抛物线y=2x2和直线x=a，x=2及y=0所围成的平面区域；D2是上抛物线y=2x2和直线y=0，x=a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．（1）试D1求绕x轴旋转而成的旋转体体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转

Question

设D₁是由抛物线y=2x²和直线x=a，x=2及y=0所围成的平面区域；D₂是上抛物线y=2x²和直线y=0，x=a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．
（1）试D₁求绕x轴旋转而成的旋转体体积V₁；D₂绕y轴旋转而成的旋转体积V₂；
（2）问当a为何值时，V₁+V₂取得最大值？试求此最大值．

Answer 1

（1）由题意：
V₁=π

∫

2 a

(2x2)2dx＝(4π)/(5)x5

|

2 a

＝(4π)/(5)(32−a5)
V2＝π

∫

2a2 0

[a2−x2]dy=π

∫

2a2 0

[a2−(y)/(2)]dy
=2πa⁴-πa⁴=πa⁴
（2）∵V1+V2＝(4π)/(5)(32−a5)+πa4
∴(V1+V2)′＝−4πa4+4πa3＝4πa3(a−1)
令（V₁+V₂）′=0，得：a=1
而当0＜a＜1时，（V₁+V₂）′0
∴a=1是V₁+V₂的唯一的极大值点，即为最大值点
∴a=1时，V₁+V₂取得最大值，且最大值为(129)/(5)π