某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10cm和30cm的钢管需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长?(打结部分不计结果化简后可用π和根式表

Question

某地工人为了用起重机吊起两条半径分别为10 cm和30 cm的钢管 需要先用钢丝绳把这两条钢管捆绑扎紧.问扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要多长?(打结部分不计 结果化简后可用π和根式表示)

Answer 1

思路分析：本题综合应用圆与圆的有关知识.求公切线的长、弧长等知识.实际上 要想把钢管全部扎紧就是要求出钢管对应的圆的渐开线的长度.

设大、小管的轮廓线分别为⊙O ₁ 和⊙O ₂ 如图所示.

依题意 两圆外切 设切点为P.两圆的外公切线与⊙O ₁ 和⊙O ₂ 分别切于A B E F.连结O ₁ A O ₂ B 作O ₂ C⊥O ₁ A于点C 则O ₁ C=O ₁ A-CA=O ₁ A-O ₂ B=20 O ₁ O ₂ =30+10=40.

在Rt△O ₁ O ₂ C中 O ₂ C=

∴AB= .

又

∴∠AO ₁ O ₂ =60° ∠AO ₁ E=120°.

∴ 的长= =40π.

的长= .

∴钢丝的长=2AB+ 的长+ 的长=2× ＋40π+ = + .

∴扎紧这两条钢管的钢丝绳至少要 + （cm）.