激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目，其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．

Question

激流勇进是游乐园常有的机动游乐项目，其工作原理是由主动轮将游船沿较长的倾斜轨道提升至一定高度，然后船只从高处滑下，冲入水中，溅起很高且美丽的水花，整个过程刺激又有趣．其工作过程可以简化如下情景：如图所示，左倾斜角α=30°的轨道AB（其长L₁=30m）上相互间隔安装着主动轮，主动轮与游船间的动摩擦因数μ₁=(√(3))/(2)；右侧倾角β=53°的轨道CD（其长L₂=20m）上相互间隔安装着导向轮（不会提供动力），导向轮与游船间的动摩擦因数均为μ₂=(41)/(72)；左右两侧轨道通过一段平滑轨道BC（其长L₃=3m）相连，两相邻主动轮（或导向轮）间的距离s₀=1m，长为L₀=2m的游船上坐着两个游客，总质量为180kg，从左侧轨道如图所示的位置由静止开始被主动轮带动向上运动（主动轮的半径r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），达恒定的速率后，一直以此速率运动到游船尾部刚好与右侧轨道的上端C点平齐的位置，之后在导向轮上向下滑动．已知g=10m/s²，sin53°=0.6，cos53°=0.6．求：

（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比．

Answer 1

（1）游客加速上升阶段，设其加速度为a₁，由牛顿第二定律，有：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入数据解得：
a1=2.5m/s2
从静止到达到共速所用时间为t₁，上移的距离为x₁，由运动学规律有：
v=a₁t₁
主动轮的线速度为：v=rω=0.3×10m/s=2m/s
联立解得：t₁=0.8s
又因为x1=(v)/(2)t1，
解得：x₁=0.8m
匀速运动的位移为：x₂=L₁+L₃-x₁=（30+3-0.8）m=32.2m
匀速运动的时间：t2=(x2)/(v)=(32.2)/(2)=16.1s
游船在右侧轨道上匀加速运动，加速度为a₂，由牛顿第二定律，有：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂ 
代入数据解得：a2=(55)/(12)m/s2
加速运动的时间为t₁，游船在右侧轨道上发生的位移为：L2-L0=vt3+(1)/(2)a2

t

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联立解得：t₂=2.4s
故游船从轨道左侧运动到右侧底（船头刚好触到水面）所用的总时间为：
t=t₁+t₂+t₃=19.3s 
（2）游船达到恒定速率前动力装置增加的功率为：
P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）v 
游船达到恒定速率后动力装置增加的功率为：
P₂=f₂v=（mgsinα）v 
动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比：
(P1)/(P2)=(μ1cosα)/(sinα)=(3)/(2)
答：（1）游船从轨道左侧运动到右侧底端（船头刚好触及水面）所用总时间为19.3s；
（2）动力装置在游船达到恒定速率前后（没有到达BC轨道）需增加的功率之比为3：2．