甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金

Question

甲和乙参加有奖竞猜闯关活动，活动规则：①闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10万奖金，闯第二关得20万奖金，闯第三关得30万奖金，一关都没过则没有奖金．已知甲每次闯关成功的概率为(1)/(4)，乙每次闯关成功的概率为(1)/(3)．
（1）设乙的奖金为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
（2）求甲恰好比乙多30万元奖金的概率．

Answer 1

（1）ξ的取值为0，10，30，60．
P(ξ＝0)＝1−(1)/(3)＝(2)/(3)
P(ξ＝10)＝(1−(1)/(3))×(1)/(3)＝(2)/(9)
P(ξ＝30)＝(1−(1)/(3))×(1)/(3)×(1)/(3)＝(2)/(27)  
 P(ξ＝60)＝((1)/(3))3＝(1)/(27)
∴ξ 的概率分布如下表：

ξ	0	10	30	60
P	(2)/(3)	(2)/(9)	(2)/(27)	(1)/(27)

E(ξ)＝0×(2)/(3)+10×(2)/(9)+30×(2)/(27)+60×(1)/(27)＝(20)/(3)
（2）设甲恰好比乙多30万元为事件A，甲恰好得30万元且乙恰好得0万元为事件B₁，
甲恰好得60万元且乙恰好得30万元为事件B₂，则A=B₁∪B₂，B₁，B₂为互斥事件．P(A)＝P(B1+B2)＝P(B1)+P(B2)＝((1)/(4))2×(3)/(4)×(2)/(3)+((1)/(4))3×(2)/(27)＝(7)/(216)．
所以，甲恰好比乙多30万元的概率为(7)/(216)