设函数φ（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分∮c2xydx+ϕ(x)dyx4+y2的值为常数．（1）设C为正向闭曲线（x-2）2+y2=1，证明：∮c2xydx+ϕ(x)dyx4+y2=0．（2）求函数φ

Question

设函数φ（x）具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分

∮

c

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)的值为常数．
（1）设C为正向闭曲线（x-2）²+y²=1，证明：

∮

c

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)=0．
（2）求函数φ（x）．
（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求

∮

c

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)．

Answer 1

（1）积分曲线C上任意取两点A和B，将L分成两段L₁和L₂，再从A、B作一曲线L₃，使得其围绕原点，则

∮

c

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)=

∮

L1+L3

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)-

∮

L

− 2

+L3

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)
又由已知，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分

∮

c

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)的值为常数
因此

∮

L1+L3

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)=

∮

L

− 2

+L3

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)
故

∮

c

(2xydx+ϕ(x)dy)/(x4+y2)=0
（2）由（1）知，(∂)/(∂y)((2xy)/(x4+y2))＝(∂)/(∂x)((Φ(x))/(x4+y2))，化简得
φ′（x）（x⁴+y²）-φ（x）4x³=2x⁵-2xy²
将两边看做是y的多项式，整理得
y²φ'（x）+φ'（x）x⁴-φ（x）4x³=y²（-2x）+2x⁵
由此可得
φ′（x）=-2x和φ'（