已知M(m,0)是x轴上的定点,求证抛物线y²=2x到点M的距离最小的点为原点O的充要条件是m

Question

已知M(m,0)是x轴上的定点,求证抛物线y²=2x到点M的距离最小的点为原点O的充要条件是m<=1

Answer 1

设P(x,y)是抛物线y²=2x （x≥0)上任意一点
则|PM|²=(x-m)²+y²
=x²-2mx+m²+2x
=x²-2(m-1)x+m²
=[x-(m-1)]²+2m-1
这是关于x的二次函数,对称轴x=m-1
x的取值区间为[0,+∞)
当m-1>0时,
当x=m-1时,|PM|²取得最小值2m-1
此时P不是原点
当m-1≤0时,|PM|²取得最小值m²
此时P点为原点
若抛物线上原点到M（m,0)最近,
即x=0时,|PM|²取得最小值
则对称轴m-1不在[0,+∞)内
∴m-1≤0,m≤1
∴抛物线y²=2x到点M的距离最小的点为
原点O的充要条件是m