黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构

Question

黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m’的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m’（用m₁、m₂表示）；
（2）求暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、运行周期T和质量m₁之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v=2.7×10⁵m/s，运行周期T=4.7π×10⁴s，质量m₁=6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10^-11N•m²/kg²，m_s=2.0×10³⁰kg）

Answer 1

（1）设A、B圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω．
由牛顿运动定律，有
  F_A=m₁ω²r₁，F_B=m₂ω²r₂，
又 F_A=F_B
设A、B之间的距离为r，又r=r₁+r₂，①
由万有引力定律，有F_A=G(m1m2)/(r2)
将①代入得：F_A=G(m1m32)/((m1+m2)2r21)
令 F_A=G(m1m′)/(r21)
比较可得：m′=(m32)/((m1+m2)2)．②
（2）由牛顿第二定律，有G(m1m′)/(r21)=m₁(v2)/(r1)   ③
又可见星A的轨道半径：r₁=(vT)/(2π) ④
由②③④式解得：(m32)/((m1+m2)2)=(v3T)/(2πG)．⑤
（3）将m₁=6m_s代入⑤式，得：(m32)/((6ms+m2)2)=(v3T)/(2πG)
代入数据得：(m32)/(6ms+m2)=3.5m_s ⑥
设m₂=nm_s（n＞0），将其代入⑥式，得：(m32)/((6ms+m2)2)=(n)/(((6)/(n)+1)2) ⑦
可见，(m32)/((6ms+m2)2) 的值随n的增大而增大，试令n=2，得：(n)/(((6)/(n)+1)2)m_s=0.125m＜3.5m_s   ⑧
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m₂必大于2m，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．
答：
（1）m′为(m32)/((m1+m2)2)；
（2）暗星B的质量m₂与可见星A的速率v为、运行周期T和质量m₁之间的关系式为(m32)/((m1+m2)2)=(v3T)/(2πG)；
（3）暗星B有可能是黑洞．