在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度

Question

在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20°，请求出∠DCA的度数．

Answer 1

（1）如图1，过点O作OE⊥AC于E
则AE=(1)/(2)AC=(1)/(2)×2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=(1)/(2)r，
在Rt△AOE中，AO²=AE²+OE²，
即r²=1²+（(1)/(2)r）²，解得r=(2√(3))/(3)；

（2）如图2，连结BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-20°=70°，
根据翻折的性质，

AC

所对的圆周角等于

ADC

所对的圆周角
∴∠DCA=∠B-∠A=70°-20°=50°．