设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A，求①二次型xTAx的标准形；②行列式|E+A+A2+…+An|的值，其中E为单位矩阵．

Question

设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A²=A，求
①二次型x^TAx的标准形；
②行列式|E+A+A²+…+Aⁿ|的值，其中E为单位矩阵．

Answer 1

设Aα=λα（α≠0），
则A²α=λ²α，
又A²α=Aα=λα，
故λ²α=λα⇒（λ²-λ）α=0⇒λ=1或者λ=0．
由n阶实对称矩阵A的秩为r知，λ=1，λ=0分别为A的r重和n-r重特征值，
故存在正交矩阵P，
使得P−1AP＝PTAP＝

Er	O
O	O

．
①经正交变换x=Py，
二次型x^TAx的标准形为

y

2 1

+

y

2 2

+…+

y

2 r

．
②A²=A⇒A²=…=Aⁿ=A，
  令A=P∧P^-1
故行列式|E+nA|=|PP^-1+nPΛP^-1||P（E+nΛ）P^-1|
=|P||E+nΛ||P^-1|
=|E+nΛ|
=（n+1）^r．