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设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.(1)求A的属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A.
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设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是α1=(-1,-1,1)T,α2=(1,-2,-1)T.
(1)求A的属于特征值3的特征向量;
(2)求矩阵A.
(1)求A的属于特征值3的特征向量;
(2)求矩阵A.
▼优质解答
答案和解析
(1)
设A的属于特征值3的特征向量为:
α3=(X1,X2,X3)T,
因为对于实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量相互正交,
所以:
α1Tα3=0,α2Tα3=0,
即X1,X2,X3是齐次线性方程组:
的非零解,
解上列方程组,得其基础解系为:(1,0,1)T,
因此A的属于特征值3的特征向量为:
α3=k(1,0,1)T(其中k为任意非零常数).
(2)
令矩阵:
P=
,
则有:
P-1AP=
(1)
设A的属于特征值3的特征向量为:
α3=(X1,X2,X3)T,
因为对于实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量相互正交,
所以:
α1Tα3=0,α2Tα3=0,
即X1,X2,X3是齐次线性方程组:
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解上列方程组,得其基础解系为:(1,0,1)T,
因此A的属于特征值3的特征向量为:
α3=k(1,0,1)T(其中k为任意非零常数).
(2)
令矩阵:
P=
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则有:
P-1AP=
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