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在平面直角坐标系xOy中,边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象
题目详情
在平面直角坐标系xOy中,边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限.
(1)当点坐标为A(4,0)时,求点D的坐标;
(2)求证:OP平分∠AOB;
(3)直接写出OP长的取值范围(不要证明).
(1)当点坐标为A(4,0)时,求点D的坐标;
(2)求证:OP平分∠AOB;
(3)直接写出OP长的取值范围(不要证明).
▼优质解答
答案和解析
(1)作DM⊥x轴于点M,
∴∠AMD=90°.
∵∠AOB=90°,
∴∠AMD=∠AOB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠OAB+∠DAM=90°.
∵∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠DAM=∠OBA.
在△DMA和△AOB中,
,
∴△DMA≌△AOB,
∴AM=OB,DM=AO.
∵A(4,0),
∴OA=4,
∵AB=5,在Rt△AOB中由勾股定理得:
OB=
=3.
∴AM=3,MD=4,
∴OM=7.
∴D(7,4);
(2)证明:作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点
∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°,
∴∠FPB=∠EPA,
∵∠PFB=∠PEA,BP=AP,
∴△PBF≌△PAE,
∴PE=PF,
∴点P都在∠AOB的平分线上.
(3)作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,则PE=h,设∠APE=α.
在直角△APE中,∠AEP=90°,PA=
.
∴PE=PA•cosα=
cosa.
∵顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),
∴0°≤α<45°,
∴
<cosa≤1.
∴
<PE≤
∴∠AMD=90°.
∵∠AOB=90°,
∴∠AMD=∠AOB.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠OAB+∠DAM=90°.
∵∠OAB+∠OBA=90°,
∴∠DAM=∠OBA.
在△DMA和△AOB中,
|
∴△DMA≌△AOB,
∴AM=OB,DM=AO.
∵A(4,0),
∴OA=4,
∵AB=5,在Rt△AOB中由勾股定理得:
OB=
25−16 |
∴AM=3,MD=4,
∴OM=7.
∴D(7,4);
(2)证明:作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点
∵∠BPE+∠EPA=90°,∠EPB+∠FPB=90°,
∴∠FPB=∠EPA,
∵∠PFB=∠PEA,BP=AP,
∴△PBF≌△PAE,
∴PE=PF,
∴点P都在∠AOB的平分线上.
(3)作PE⊥x轴交x轴于E点,作PF⊥y轴交y轴于F点,则PE=h,设∠APE=α.
在直角△APE中,∠AEP=90°,PA=
5
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2 |
∴PE=PA•cosα=
5
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2 |
∵顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),
∴0°≤α<45°,
∴
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∴
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2 |
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