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太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种互相转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数
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太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,太极图展现了一种互相转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.则下列有关说法中:
①对于圆O:x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数f(x)=sinx+1是圆O:x2+(y-1)2=1的一个太极函数;
③存在圆O,使得f(x)=
是圆O的一个太极函数;
④直线(m+1)x-(2m+1)y-1=0所对应的函数一定是圆O:(x-2)2+(y-1)2=R2(R>0)的太极函数;
⑤若函数f(x)=kx3-kx(k∈R)是圆O:x2+y2=1的太极函数,则k∈(-2,2).
所有正确的是___.
①对于圆O:x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
②函数f(x)=sinx+1是圆O:x2+(y-1)2=1的一个太极函数;
③存在圆O,使得f(x)=
ex+1 |
ex-1 |
④直线(m+1)x-(2m+1)y-1=0所对应的函数一定是圆O:(x-2)2+(y-1)2=R2(R>0)的太极函数;
⑤若函数f(x)=kx3-kx(k∈R)是圆O:x2+y2=1的太极函数,则k∈(-2,2).
所有正确的是___.
▼优质解答
答案和解析
对①显然错误,如图
对②,点(0,1)均为两曲线的对称中心,且f(x)=sinx+1能把圆一分为二,正确.
对③,函数为奇函数f(x)=
=1+
,当x→0(x>0)时,
f(x)→+∞,
当x→+∞时,f(x)→1,[f(x)>1],函数递减;
当x→0(x<0)时,f(x)→-∞,
当x→-∞时,f(x)→-1,[f(x)<-1],
函数f(x)关于(0,0)中心对称,有三条渐近线y=±1,x=0,
可知,函数的对称中心为间断点,故不存在圆使得满足题干条件.
对于④直线(m+1)x-(2m+1)y-1=0恒过定点(2,1),满足题意.
对于⑤函数f(x)=kx3-kx为奇函数,与圆的交点恒坐标为(-1,1),
∴
,
∴k2x6-2k2x4+(1+k2)x2-1=0,
令t=x2,得k2t3-2k2t2+(1+k2)t-1=0,
即(t-1)(k2t2-k2t2+1)=0
得t=1即x=±1;
对k2t2-k2t2+1,当k=0时显然无解,△<0即0<k2<4时也无解,
即k∈(-2,2)时两曲线仅有两个交点,函数能把圆一分为二,且周长和面积均等分.
若k=±2时,函数图象与圆有4个交点,
若k2>4时,函数图象与圆有6个交点,均不能把圆一分为二.
,
故所有正确的是②④⑤
故答案为:②④⑤
对②,点(0,1)均为两曲线的对称中心,且f(x)=sinx+1能把圆一分为二,正确.
对③,函数为奇函数f(x)=
ex+1 |
ex-1 |
2 |
ex-1 |
f(x)→+∞,
当x→+∞时,f(x)→1,[f(x)>1],函数递减;
当x→0(x<0)时,f(x)→-∞,
当x→-∞时,f(x)→-1,[f(x)<-1],
函数f(x)关于(0,0)中心对称,有三条渐近线y=±1,x=0,
可知,函数的对称中心为间断点,故不存在圆使得满足题干条件.
对于④直线(m+1)x-(2m+1)y-1=0恒过定点(2,1),满足题意.
对于⑤函数f(x)=kx3-kx为奇函数,与圆的交点恒坐标为(-1,1),
∴
|
∴k2x6-2k2x4+(1+k2)x2-1=0,
令t=x2,得k2t3-2k2t2+(1+k2)t-1=0,
即(t-1)(k2t2-k2t2+1)=0
得t=1即x=±1;
对k2t2-k2t2+1,当k=0时显然无解,△<0即0<k2<4时也无解,
即k∈(-2,2)时两曲线仅有两个交点,函数能把圆一分为二,且周长和面积均等分.
若k=±2时,函数图象与圆有4个交点,
若k2>4时,函数图象与圆有6个交点,均不能把圆一分为二.
,
故所有正确的是②④⑤
故答案为:②④⑤
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