关于抛物线焦点弦公式是否是充要条件?逆推能成立么?(两纵坐标之积和横坐标之积与p的关系的公式)

Question

关于抛物线焦点弦公式是否是充要条件?逆推能成立么?(两纵坐标之积和横坐标之积与p的关系的公式)

Answer 1

以y²=2px (p>0)为例.
焦点为F(p/2,0),准线为x=-p/2,
一方面,设AB为焦点弦,
则AB的方程可设x=my+p/2 ,(注：这样设是为了避免讨论斜率是否存在)
代入抛物线方程,得y²=2pmy+p²,即 y²-2pmy-p²=0
所以 y1y2=-p²,x1x2=(y1²/2p)(y2²/2p)=(y1y2)²/(4p²)=p²/4
另一方面,设AB为弦,A(x1,y1),B(x2,y2),且y1y2=-p²
设AB与x轴的交点为F'(a,0),则AB的方程可设为x=my+a ,
代入抛物线方程,得y²=2pmy+2pa,即 y²-2pmy-2pa=0
所以 y1y2=-2pa,又y1y2=-p²
所以 -2pa=-p²,a=p/2
即 F'(a,0)是焦点,从而AB是焦点弦.
这就回答了你的问题.