如图所示，平面直角坐标系中，已知椭圆x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0），A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，若MO⊥PB，则椭圆的离心率为2222．

Question

如图所示，平面直角坐标系中，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1（a＞b＞0），A、B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，若MO⊥PB，则椭圆的离心率为

(√(2))/(2)

(√(2))/(2)

．

Answer 1

依题意，A（-a，0），设直线AM的方程为：y=k（x+a），①与直线MB的方程联立得M（a，2ka），
∴OM的斜率k_OM=2k，
∵MO⊥PB，
∴k_BP=-(1)/(2k)，又B（a，0），
∴直线BP的方程为：y=-(1)/(2k)（x-a），②
∴由①②联立

y＝k(x+a)

y＝−(1)/(2k)(x−a)

得P点的坐标为：P（(a(1−2k2))/(2k2+1)，(2ak)/(2k2+1)），
∵点P在椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），
∴(((a(1−2k2))/(2k2+1))2)/(a2)+(((2ak)/(2k2+1))2)/(b2)=1，
∴4a²k²=8b²k²，k≠0，
∴a²=2b²=2（a²-c²），
∴a²=2c²，
∴e=(c)/(a)=(√(2))/(2)．

作业帮用户 2017-10-19