已知椭圆x2a2+y2b2=1，（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且以焦点和短轴的端点为顶点构成边长为2的正方形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l交椭

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且以焦点和短轴的端点为顶点构成边长为√(2)的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1，（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），
M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，
且以焦点和短轴的端点为顶点构成边长为√(2)的正方形．
∴b＝1，a＝√(2)b＝√(2)，
∴椭圆方程为(x2)/(2)+y2＝1．…（4分）
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F（1，0），
∴k_MF=-1，∴直线l的斜率k=1，∴设直线l的方程为y=x+m，
由

y＝x+m

x2+2y2＝2

，得3x²+4mx+2m²-2=0，
由题意知△＞0，即m²＜3，…（7分）
且x1+x2＝−(4m)/(3)，x1x2＝(2m2−2)/(3)，
由题意应有

MP

•

FQ

＝0，又

MP

＝(x1，y1−1)，

FQ

＝(x2−1，y2)，
∴2x1x2+(x1+x2)(m−1)+m2−m＝0…（9分）
2×(2m2−2)/(3)−(4)/(3)m(m−1)+m2−m＝0，解得m＝−(4)/(3)或m=1…（11分）
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1，
当m＝−(4)/(3)时，所求直线y＝x−(4)/(3)满足题意，
综上，存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心，
且直线l的方程为3x-3y-4=0．…（14分）