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已知椭圆E：的左焦点F1（，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F。（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭
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已知椭圆E： 的左焦点F 1 （ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF 1 相切于线段DF 1 的中点F。（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：  ，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：  于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。 |
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答案和解析
已知椭圆E： 的左焦点F 1 （ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF 1 相切于线段DF 1 的中点F。（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：  ，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？（Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W：  于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。 |
（Ⅰ）连接 （O为坐标原点， 为右焦点），由题意知：椭圆的右焦点为  ，因为FO是  的中位线，且 ，所以  ，所以  ，故  ，在  中， ，即  ，又  ，解得  ，所求椭圆  的方程为 。（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G：  ，设直线l的方程为y=k（x+2）并代入  ，整理得：  ，由  得： ，设  ，则由中点坐标公式得：  ，①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆  的两个顶点 ；②当  时，则 ，直线 的方程为 ，此时直线  显然不能过椭圆 的两个顶点 ；若直线  过椭圆 的顶点 ，则  ，即 ，所以  ，解得： （舍去）；若直线  过椭圆 的顶点
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