已知椭圆x^2+（y^2）/4=1的左,右两个顶点分别为A.B,曲线C是以A.B两点为顶点,离心率为√5的双曲线,设点P在第一象限且在曲线c上,直线AP与椭圆相交于另一点T,1求曲线c的方程,2设P.T两点的横坐标分

Question

已知椭圆x^2+（y^2）/4=1的左,右两个顶点分别为A.B,曲线C是以A.B两点为顶点,离心率为√5的双曲线,设点P在第一象限且在曲线c上,直线AP与椭圆相交于另一点T,
1求曲线c的方程,
2设P.T两点的横坐标分别为x1,x2,证明,x1x2=1

Answer 1

1.a=1,e=c/a=根号5,则有c=根号5
c^2=a^2+b^2,b^2=5-1=4
故曲线C方程是x^2-y^2/4=1.
2)设P坐标(x1,y1),A(-1,0)
K(AP)=(y1-0)/(x1+1)=y1/(x1+1)
AP方程是:y=k(x+1)
代入到椭圆方程中得:x^2+k^2*(x+1)^2/4=1
然后化简得到4x^2+k^2(x^2+2x+1)=4
(4+k^2)x^2+2k^2x+k^2-4=0
X1*x2=(k^2-4)/(4+k^2).
而这里的X1=-1,就能得到x2=(4-k^2)/(4+k^2)
又有y1^2=(x1^2-1)*4
故有k^2=y1^2/(1+x1)^2=4(x1-1)(1+x1)/(1+x1)^2 =4(x1-1)/(1+x1)
所以有:x2=[4-4(x1-1)/(x1+1)]/[4+4(x1-1)/(1+x1)]=(x1+1-x1+1)/(x1+1+x1-1)=2/(2x1)=1/x1
即有:x1x2=1
得证.