已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左顶点为A（-3，0），左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0（m∈R）的圆心M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭

Question

已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1的左顶点为A（-3，0），左焦点恰为圆x²+2x+y²+m=0（m∈R）的圆心M．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值．

Answer 1

（Ⅰ）圆M方程变形得：（x+1）²+y²=1-m，即M（-1，0），
∴c=1，
∵顶点A（-3，0），∴a=3，
∴b²=a²-c²=9-1=8，
则椭圆C的方程为(x2)/(9)+(y2)/(8)=1；
（Ⅱ）设AP方程为x=ty-3（t≠0），代入椭圆方程得：（8t²+9）y²-48ty=0，
解得：y_A=0，y_P=(48t)/(8t2+9)，
∴x_P=ty_P-3=(24t2-27)/(8t2+9)，
∵右焦点坐标为（1，0），
∴PQ方程为x=(4t2-9)/(12t)y+1，代入椭圆方程得：((8t2+9)(2t2+9))/(18t2)y²+(16t2-36)/(3t)y-64=0，
∴y_Py_Q=(-64×18t2)/((8t2+9)(2t2+9))，即y_Q=(-24t)/(2t2+9)，
∴x_Q=(4t2-9)/(12t)y_Q+1=(27-6t2)/(2t2+9)，
由B，M，Q三点共线，可得MQ⊥AP，即k_MQ•k_AP=-1，
∴(-6t)/(t(9-t2))=-1，
解得：t=±√(3)，
∴直线AP方程为x=±√(3)y-3，
则圆心M到AP的距离为1，即圆半径为√(1-m)=1，
则m=0．