点M是椭圆X^2/a^+Y^2/b^=1(a>b>0)上的点已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与Y轴相交于P,若PQM是钝角三角形，则离心率的取值范围？

Question

点M是椭圆X^2/a^+Y^2/b^=1(a>b>0)上的点
已知点M在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与Y轴相交于P,若PQM是钝角三角形，则离心率的取值范围？

Answer 1

因为以M为圆心的圆与x轴相切与椭圆焦点F,可知,M的横坐标就是半焦距c.
将横坐标代入椭圆方程,可解其纵坐标是±b^2/a.不妨假设其纵坐标为正.
若要PQM是钝角三角形,则∠PMQ必须是钝角.
根据垂径定理,M与PQ中点的连线必然垂直于PQ.设PQ中点为N,即有MN⊥PQ,且MN=c.
当MN=√2/2PM时,∠PMQ刚好为直角.
所以若要∠PMQ为钝角,MN必须小于√2/2PM
即c＜(√2//2)*(b^2/a),两边同乘a,再将b^2=a^2-c^2,可以得到ac＜(√2//2)*(a^2-c^2)
式子两边同时除以a^2,就有e＜(√2//2)*(1-e^2),解一元二次不等式,得到
离心率e的取值范围是：0

作业帮用户 2017-11-01