已知三棱椎S~ABC的所有顶点都在球o的球面上,三角形ABC是边长为1的正三角形,SC为球的直径且为2,则此棱椎体积为?

Question

已知三棱椎S~ABC的所有顶点都在球o的球面上,三角形ABC是边长为1的正三角形,SC为球的直径且为2,则此棱椎体积为?

Answer 1

郭敦顒回答：
△ ABC是边长为1的正三角形,AB=BC=AC=1,△ABC的高h=（1/2）√3,
△ 平面ABC截球所得的圆为⊙Q,⊙Q为△ABC的外接圆,Q为圆心,半径AQ=r=（1/3）√3,
直径=2r=（2/3）√3,球心为O,球半径R=SC/2=1
∴sin∠AOQ= r/R=[（1/3）√3]/1=（1/3）√3=0.57735,
∴∠AOQ=35.2644°,
∴OQ=R cos35.2644°=0.8165,
三棱椎S~ABC的高H=OQ+R=0.8165+1=1.8165,
三棱椎S~ABC的体积V=（1/3）SH=（1/3）×{1×[（1/2）√3]/2}×1.8165
=[（1/12）√3] ×1.8165=0.26219,
三棱椎S~ABC的体积V=0.26219.