求伴随矩阵一个性质的初等证明设A,B为n阶矩阵（n>=2),证明:adj(AB)=adj(B)adj(A)(adj(X)表示X的伴随矩阵）.

Question

求伴随矩阵一个性质的初等证明
设A,B为n阶矩阵（n>=2),证明:adj(AB)=adj(B)adj(A)(adj(X)表示X的伴随矩阵）.

Answer 1

首先有个性质你得知道:
A.adj(A)=adj(A).A=det(A).I------(det是矩阵A的矩阵行列式值,I是单位矩阵,'.'表示矩阵相乘)
A.B.adj(B).adj(A)=A.[B.adj(B)].adj(A)=det(A).det(B)
另一方面,
(A.B).adj(A.B)=det(A.B)=det(A).det(B)
与上式比较,又因为一个矩阵的伴随矩阵的唯一性,可知,A.B的伴随矩阵就是
adj(AB)=adj(B)adj(A)