在一张长方形ABCD纸张中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为202202cm；（2）如图2，H、G分别为BC

Question

在一张长方形ABCD纸张中，AB=25cm，AD=20cm，现将这张纸片按下列图示方法折叠，请解决下列问题（1）如图1，折痕为DE，点A的对应点F在CD上，则折痕DE的长为

20√(2)

20√(2)

cm；
（2）如图2，H、G分别为BC、AD的中点，点A的对应点F在HG上，折痕为DE，求重叠部分（△DEF）的面积；
（3）如图3，在图2中，把长方形ABCD沿着HG剪开，变成两张长方形纸片，将这两张纸按图形位置任意叠合后，发现重叠部分都是菱形，显然，这些菱形中周长最短是40cm．是否存在叠后周长最大的菱形？若存在，请求出叠合后周长最大的菱形的周长和面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ADFE是正方形，
∴DE=√(AD2+AE2)=√(202+202)=20√(2)（cm）；
故答案为：20√(2)；

（2）由折叠的性质可知，AD=DF，
∵GH分别是AD、BC的中点，
∴GD=(1)/(2)AD=(1)/(2)DF
∴在Rt△DGE中，∠GFD=30°，∠GDF=60°，
∵∠GDE=∠EDF，
∴∠EDA=30°．
∴在Rt△ADE中，tan∠EDA=(AE)/(AD)，
∴AE=AD•tan30°=(20√(3))/(3)
∴S_△DEF=(1)/(2)AE•AD=(1)/(2)×20×(20√(3))/(3)=(200√(3))/(3)；

（3）最大的菱形如图所示：
设GK=x，则HK=25-x，
x²=（25-x）²+10²，
解得x=(29)/(2)，
则菱形的周长为58cm，
此时菱形的面积S=(29)/(2)×10=145．