已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x（1）记P=[x，Ax，A2x]，求三阶矩阵B使得A=PBP-1；（2）计算行列式|A+E|，其中E为三阶单位矩阵．

Question

已知三阶矩阵A与三维向量x，使得向量组x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x
（1）记P=[x，Ax，A²x]，求三阶矩阵B使得A=PBP^-1；
（2）计算行列式|A+E|，其中E为三阶单位矩阵．

Answer 1

（1）由于向量组x，Ax，A²x线性无关，因此P=[x，Ax，A²x]可逆．
∴AP=（AX，A²X，A³X）=（AX，A²X，3AX-2A²X）
∴三阶矩阵B使得A=PBP^-1，则PB=AP
即PB=（AX，A²X，3AX-2A²X）
设B=

b11	amp;b12	amp;b13
b21	amp;b22	amp;b23
b31	amp;b32	amp;b33

，则
PB=(b11X+b21AX+b31A2X，b12X+b22AX+b32A2X，b13X+b23AX+b33A2X)
∴容易求得
B=

0	amp;0	amp;0
1	amp;0	amp;3
0	amp;1	amp;-2

（2）|A+E|=|PBP^（-1）+E|=|P（B+E）P^（-1）|=|B+E|=-4
其中B+E=

1	amp;0	amp;0
1	amp;1	amp;3
0	amp;1	amp;-1