已知直线l1：ax-by+k=0；l2：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．（1）求直线l1和l2交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x

Question

已知直线l₁：ax-by+k=0；l₂：kx-y-1=0，其中a是常数，a≠0．
（1）求直线l₁和l₂交点的轨迹，说明轨迹是什么曲线，若是二次曲线，试求出焦点坐标和离心率．
（2）当a＞0，y≥1时，轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的最小值是否存在？若存在，求出这个最小值．

Answer 1

（1）由

ax−by+k＝0

kx−y−1＝0

消去k，得y²-ax²=1
①当a＞0时，轨迹是双曲线，焦点为(0，±√(1+(1)/(a)))，离心率e＝√(1+(1)/(a))；
②当-1＜a＜0时，轨迹是椭圆，焦点为(±√(−1−(1)/(a))，0)，离心率e＝√(1+a)；
③当a=-1时，轨迹是圆，圆心为（0，0），半径为1；
④当a＜-1时，轨迹是椭圆，焦点为(0，±√(1+(1)/(a)))，离心率e＝

作业帮用户 2017-09-19 举报

问题解析

（1）联立直线l₁和l₂的方程，消去参数即可得到交点的轨迹方程，根据a的取值a＞0，-1＜a＜0，a=-1，a＜-1说明轨迹曲线，利用二次曲线判断形状，直接求出焦点坐标和离心率．
（2）通过a＞0，y≥1时，说明轨迹的图形，求出轨迹上的点P（x，y）到点A（0，b）距离的表达式，通过配方讨论b与(a+1)/(a)的大小，求出|PA|的最小值．

名师点评

本题考点：

圆锥曲线的轨迹问题．

考点点评：

本题考查知识点比较多，涉及参数方程，双曲线方程椭圆方程，圆的方程，两点的距离公式等等，涉及分类讨论思想二次函数的最值，是难度比较大，容易出错的题目，考试常靠题型，多以压轴题为主．

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