数列和函数高手~求救!已知,函数f(x)=(x+3)/(x+1),(x不等于1)数列An满足数列A1=1,A(n+1)=f(An),Bn=/An-根号3/,Sn=B1+B2+B3……Bn.用数归证Bn小于等于（根号3减1）的N次幂比2的N减1次幂证明SN小于3分之2倍根号3

Question

数列和函数高手~求救!
已知,函数f(x)=(x+3)/(x+1),(x不等于1)数列An满足数列A1=1,A(n+1)=f(An),
Bn=/An-根号3/,Sn=B1+B2+B3……Bn.用数归证Bn小于等于（根号3 减1）的N次幂比2的N减1次幂
证明SN小于3分之2倍根号3
会的，我给多多加分

Answer 1

答：
f(x)=(x+3)/(x+1),
A(n+1)=f(An),
所以
A(n+1)=(An+3)/(An+1).
A(n+1)-√3
=(An+3)/(An+1)-√3
=(An+3-√3An-√3)/(An+1)
=(1-√3)(An-√3)/(An+1)
A1=1,
A(n+1)=(An+3)/(An+1)=1+2/(1+An)>1.
(其实很容易证明An∈[1,2]).
B1=√3-1,
Bn=│An-√3│,
B(n+1)/Bn
=│(√3-1)/(An+1)│
≤(√3-1)/2.(An≥1)
所以
Bn
=[Bn/B(n-1)]*[B(n-1)/B(n-2)]*...*(B2/B1)*(B1)
≤[(√3-1)/2]^(n-1)*(√3-1)
=[(√3-1)^n/2^(n-1).
Sn
=B1+B2+...+Bn
≤(√3-1)+[(√3-1)^2/2]+[(√3-1)^3/4]+...+[(√3-1)^n/2^(n-1)]
=(√3-1)+2{[(√3-1)/2]^2+[(√3-1)/2]^3+...+[(√3-1)/2]^n}