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在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点P(m,-1)(m>0).连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM,且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点.(1)若m=1,抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,2
题目详情
在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,点P(m,-1)(m>0).连接OP,将线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM,且点M是抛物线y=ax2+bx+c的顶点.
(1)若m=1,抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,2),当0≤x≤1时,求y的取值范围;
(2)已知点A(1,0),若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B,直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点,请判断△BOM的形状,并说明理由.
(1)若m=1,抛物线y=ax2+bx+c经过点(2,2),当0≤x≤1时,求y的取值范围;
(2)已知点A(1,0),若抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B,直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点,请判断△BOM的形状,并说明理由.
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答案和解析
(1)∵线段OP绕点O按逆时针方向旋转90°得到线段OM
∴∠POM=90°,OP=OM
过点P(m,-1)作PQ⊥x轴于Q,过点M作MN⊥y轴于N,
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1,ON=OQ=m
∴M(1,m)
∵m=1
∴M(1,1)
∵点M是抛物线y=a(x-1)2+1
∵抛物线经过点(2,2)
∴a=1
∴y=(x-1)2+1
∴此抛物线开口向上,对称轴为x=1
∴当x=0时,y=2,
当x=1时,y=1
∴y的取值范围为1≤y≤2.
(2)∵点M(1,m)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点
∴可设抛物线为y=a(x-1)2+m
∵y=a(x-1)2+m=ax2-2ax+a+m
∴B(0,a+m)
又∵A(1,0)
∴直线AB的解析式为y=-(a+m)x+(a+m)
解方程组
得ax2+(m-a)x=0
∵直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点,
∴△=(m-a)2=0
∴m=a
∴B(0,2m).
在Rt△ONM中,由勾股定理得
OM2=MN2+ON2=1+m2
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形.
∴∠POM=90°,OP=OM
过点P(m,-1)作PQ⊥x轴于Q,过点M作MN⊥y轴于N,
∵∠POQ+∠MOQ=90°
∠MON+∠MOQ=90°
∴∠MON=∠POQ
∴∠ONM=∠OQP=90°
∴△MON≌△OPQ
∴MN=PQ=1,ON=OQ=m
∴M(1,m)
∵m=1
∴M(1,1)
∵点M是抛物线y=a(x-1)2+1
∵抛物线经过点(2,2)
∴a=1
∴y=(x-1)2+1
∴此抛物线开口向上,对称轴为x=1
∴当x=0时,y=2,
当x=1时,y=1
∴y的取值范围为1≤y≤2.
(2)∵点M(1,m)是抛物线y=ax2+bx+c的顶点
∴可设抛物线为y=a(x-1)2+m
∵y=a(x-1)2+m=ax2-2ax+a+m
∴B(0,a+m)
又∵A(1,0)
∴直线AB的解析式为y=-(a+m)x+(a+m)
解方程组
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得ax2+(m-a)x=0
∵直线AB与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点,
∴△=(m-a)2=0
∴m=a
∴B(0,2m).
在Rt△ONM中,由勾股定理得
OM2=MN2+ON2=1+m2
∴BM=OM
∴△BOM是等腰三角形.
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