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已知圆x^2+y^2=3,过点P(1,3)作直线交于A,B两点,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=h向量QB,且h不等于0,1或-1.求证:Q位于一条定直线上.
题目详情
已知圆x^2+y^2=3,过点P(1,3)作直线交于A,B两点,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=h向量QB,且h不等于0,1或-1.求证:Q位于一条定直线上.
▼优质解答
答案和解析
设直线的斜率为k,那么直线的方程为:y-3=k(x-1),
设Q点为(a,b),A为(a1,b1),B为(a2,b2),
则:b=3+k(a-1),b1=3+k(a1-1),b2=3+k(a2-1),
题目中应该是,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=-h向量QB,
——》(1-a1)/(1-a2)=h=-(a-a1)/(a-a2),
——》2(a+a1a2)=(a+1)(a1+a2).(1),
A、B在圆上,
——》a1、a2为方程x^2+[3+k(x-1)]^2=3的两个根,
整理方程得:(k^2+1)x^2-(2k^2-6k)x+(k^2-6k+6)=0,
由韦达定理:a1+a2=(2k^2-6k)/(k^2+1),a1a2=(k^2-6k+6)/(k^2+1),
代入式(1),得:2[a+(k^2-6k+6)/(k^2+1)]=(a+1)[(2k^2-6k)/(k^2+1)]
解得:a=(3k-6)/(3k+1),
——》b=3+k(a-1)=(2k+3)/(3k+1),
——》a+3b-3=0,
即Q点在直线x+3y-3=0上,为一条定直线,
命题得证.
设Q点为(a,b),A为(a1,b1),B为(a2,b2),
则:b=3+k(a-1),b1=3+k(a1-1),b2=3+k(a2-1),
题目中应该是,在AB上有一点Q,使向量PA=h向量PB,向量QA=-h向量QB,
——》(1-a1)/(1-a2)=h=-(a-a1)/(a-a2),
——》2(a+a1a2)=(a+1)(a1+a2).(1),
A、B在圆上,
——》a1、a2为方程x^2+[3+k(x-1)]^2=3的两个根,
整理方程得:(k^2+1)x^2-(2k^2-6k)x+(k^2-6k+6)=0,
由韦达定理:a1+a2=(2k^2-6k)/(k^2+1),a1a2=(k^2-6k+6)/(k^2+1),
代入式(1),得:2[a+(k^2-6k+6)/(k^2+1)]=(a+1)[(2k^2-6k)/(k^2+1)]
解得:a=(3k-6)/(3k+1),
——》b=3+k(a-1)=(2k+3)/(3k+1),
——》a+3b-3=0,
即Q点在直线x+3y-3=0上,为一条定直线,
命题得证.
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