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阅读以下短文,然后解决下列问题:如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“
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阅读以下短文,然后解决下列问题:
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”,显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
如果一个三角形和一个矩形满足条件:三角形的一边与矩形的一边重合,且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上,则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”,如图①所示,矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”,显然,当△ABC是钝角三角形时,其“友好矩形”只有一个.
(1)仿照以上叙述,说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”;
(2)如图②,若△ABC为直角三角形,且∠C=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”,并比较这些矩形面积的大小;
(3)若△ABC是锐角三角形,且BC>AC>AB,在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”,指出其中周长最小的矩形并加以证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件:三角形的一边与平行四边形的一边重合,三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上,则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.
(2)此时共有2个友好矩形,如图的矩形BCAD、ABEF.
易知,矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个友好矩形,如图的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK,
其中的矩形ABHK的周长最小.
证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3,
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则:
L1=
+2a,L2=
+2b,L3=
+2c,
∴L1-L2=(
+2a)-(
+2b)=-
(a-b)+2(a-b)=2(a-b)•
,
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
(2)此时共有2个友好矩形,如图的矩形BCAD、ABEF.
易知,矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍,
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.
(3)此时共有3个友好矩形,如图的矩形BCDE、矩形CAFG及矩形ABHK,
其中的矩形ABHK的周长最小.
证明如下:
易知,这三个矩形的面积相等,令其为S,设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L1,L2,L3,
△ABC的边长BC=a,CA=b,AB=c,则:
L1=
2S |
a |
2S |
b |
2S |
c |
∴L1-L2=(
2S |
a |
2S |
b |
2s |
ab |
ab-S |
ab |
而ab>S,a>b,
∴L1-L2>0,即L1>L2,
同理可得,L2>L3,
∴L3最小,即矩形ABHK的周长最小.
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