求下面的四阶行列式1-11X-11-1X+1-11X-11-1X+1-11-1答案是X^4求详细的过程,原来的答案过程是变化成1-11X-100X-X0X0-XX00-X然后就得出了X^3

Question

求下面的四阶行列式
1 -1 1 X-1
1 -1 X+1 -1
1 X-1 1 -1
X+1 -1 1 -1
答案是X^4
求详细的过程,原来的答案过程是变化成
1 -1 1 X-1
0 0 X -X
0 X 0 -X
X 0 0 -X
然后就得出了 【X^3】-【-X^3(x-1)】.怎么得出来的?

Answer 1

1.将第1行乘 -1 加到 2,3,4 行
1 -1 1 X-1
0 0 X -X
0 X 0 -X
X 0 0 -X
2.将1,2,3列加到第4列即得
1 -1 1 X
0 0 X 0
0 X 0 0
X 0 0 0
这个行列式按行列式的定义可得 (-1)^t(4321) x^4 = (-1)^6 * x^4 = x^4.
也可以交换1,4列,交换2,3列,将行列式化为上三角
x 1 -1 1
0 x 0 0
0 0 x 0
0 0 0 x
=x^4