线性代数为什么如果n阶矩阵Ar（A）等于n-1那么它的伴随矩阵的秩是大于等于1?怎么证明的啊我怎么就看不出来呢

Question

线性代数 为什么如果n阶矩阵A r（A）等于n-1 那么它的伴随矩阵的秩是大于等于1?怎么证明的啊
我怎么就看不出来呢

Answer 1

结论：r(A) ===> r(A*)=n
r(A)=n-1 ===> r(A*)=1
r(A) r(A*)=0
利用等式A·A* = |A|·E_n （n阶单位矩阵）即可得第一个关系.
当r(A)＜n,有|A|=0,于是：
若r(A)小于n-1,则每个n-1阶子阵的行列式为0,从而由A*的定义知A*=0；
若r(A)等于n-1,则由A·A* = |A|·E_n知,A·A* = 0.但是由不等式
r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n
知,
0 = r(A·A*) ≥ r(A) + r(A*) - n = n-1 + r(A*) -n = r(A*) -1
即r(A*) ≤ 1.但是A至少有一个n-1阶子阵的行列式不为0,于是由A*的定义知r(A*) = 1