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在平行四边形ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF,EC,N,P分别为EC,BC的中点,连接NP.(1)如图①,若点E在DP上,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关
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在平行四边形ABCD中,∠A=∠DBC,过点D作DE=DF,且∠EDF=∠ABD,连接EF,EC,N,P分别为EC,BC的中点,连接NP.
(1)如图①,若点E在DP上 ,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论;(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明在(1)中得到的结论.
(1)如图①,若点E在DP上 ,EF与DC交于点M,试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系,请直接写出你的结论;(2)如图2,若点M在线段EF上,当点M在何位置时,你在(1)中的结论仍然成立,写出你确定的点M的位置,并证明在(1)中得到的结论.
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答案和解析
(1) 由已知条件,得∠EDM=∠FDM, ∵M为EF边的中点,线段MN、PN分别为直角△EMC、直角△EPC的斜边中线,∴∠MNP=2∠DCB=1800-∠ABD,PN=MN
2)点M是线段EF的中点
分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB,
∴∠ABD=∠BDC.
∵ ∠A=∠DBC,
∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC. ①
∵∠EDF =∠ABD,
∴∠EDF =∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF. ②
又 DE=DF, ③
由①②③得△BDE≌△CDF.
∴ EB=FC, ∠1=∠2.
∵ N、P分别为EC、BC的中点,
∴NP∥EB, NP=.½EB
同理可得 MN∥FC,MN=½FC
∴ NP = NM.
∵ NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4
=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴ ∠ABD +∠MNP =180°.
2)点M是线段EF的中点
分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD∥BC,AB∥DC,∠A=∠DCB,
∴∠ABD=∠BDC.
∵ ∠A=∠DBC,
∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC. ①
∵∠EDF =∠ABD,
∴∠EDF =∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF. ②
又 DE=DF, ③
由①②③得△BDE≌△CDF.
∴ EB=FC, ∠1=∠2.
∵ N、P分别为EC、BC的中点,
∴NP∥EB, NP=.½EB
同理可得 MN∥FC,MN=½FC
∴ NP = NM.
∵ NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC,
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4
=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴ ∠ABD +∠MNP =180°.
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