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定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.(1)求12⊙21,5⊙15;(2)说明
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定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)因为,12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,
所以,12⊙21=84-3=81,
同样道理5⊙15=15-5=10;
(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,
所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b,
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,
再由c整除a⊙b推知,c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,
所以c整除b;
(3)因为6与x的最小公倍数不小于:27+1=28,不大于:27+6=33,
而28到33之间,只有30是6的倍数,
可见6和x的最小公倍数是30,
因此,它们的最大公约数是30-27=3,
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,
得到:30×3=6×x,
6x=90,
x=15,
所以x的值是15.
所以,12⊙21=84-3=81,
同样道理5⊙15=15-5=10;
(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,
所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b,
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,
再由c整除a⊙b推知,c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,
所以c整除b;
(3)因为6与x的最小公倍数不小于:27+1=28,不大于:27+6=33,
而28到33之间,只有30是6的倍数,
可见6和x的最小公倍数是30,
因此,它们的最大公约数是30-27=3,
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,
得到:30×3=6×x,
6x=90,
x=15,
所以x的值是15.
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