两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f（t）、

Question

两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f（t）、数学期望和方差．

Answer 1

用X₁，X₂表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时间，
则：T=X₁+X₂．
由已知条件，X₁与X₂相互独立，且X_i（i=1，2）的概率密度为：
p(x)＝

5e−5x，  x>0

0，         x≤0

，
利用两个独立随机变量和的密度公式可得：
①对于任意t>0，T的概率分布：
f（t）=

∫

∞ −∞

p1(x)p2(t−x)dx=25

∫

t 0

e−5xe−5(t−x)dx=25e−5t

∫

t 0

dx=25te^-5t，
②当t≤0时，显然有：f（t）=0．
于是，
f（t）=

25te−5t， t>0

0，          t≤0

．
由于X_i（i=1，2）服从参数为λ=5的指数分布，
所以：EX_i=(1)/(5)，DX_i=(1)/(25)．
因此，ET=E（X₁+X₂）=E（X₁）+E（X₂）=(2)/(5)．
因为X₁与X₂相互独立，
所以：
DT=D（X₁+X₂）=D（X₁）+D（X₂）=(2)/(25)．