如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数

Question

如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N

（1）若CM=x，则CH=___（用含x的代数式表示）；
（2）求折痕GH的长．

Answer 1

（1）∵CM=x，BC=6，
∴设HC=y，则BH=HM=6-y，
故y²+x²=（6-y）²，
整理得：y=-(1)/(12)x²+3，
故答案为：-(1)/(12)x²+3；

（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6-x，∠EMH=∠B=90°，
故∠HMC+∠EMD=90°，
∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，
∴△EDM∽△MCH，
∴(ED)/(MC)=(DM)/(CH)，
即(3)/(x)=(6-x)/(-(1)/(12)x2+3)，
解得：x₁=2，x₂=6（不合题意舍去），
∴CM=2，
∴DM=4，
∴在Rt△DEC中，由勾股定理得：EM=5，
∴NE=MN-EM=6-5=1，
∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，
∴△NEG∽△DEM，
∴(NE)/(DE)=(NG)/(DM)，
∴(1)/(3)=(NG)/(4)，
解得：NG=(4)/(3)，
由翻折变换的性质，得AG=NG=(4)/(3)，
过点G作GP⊥BC，垂足为P，
则BP=AG=(4)/(3)，GP=AB=6，
当x=2时，CH=-(1)/(12)x²+3=(8)/(3)，
∴PH=BC-HC-BP=6-(8)/(3)-(4)/(3)=2，
在Rt△GPH中，GH=√(GP2+PH2)=√(62+22)=2√(10)．