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如图,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证:AK平分BC.
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如图,⊙O是△ABC的边BC外的旁切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证:AK平分BC.
▼优质解答
答案和解析
证明:如图,过点K作BC的平行线分别交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、OE、OF.
由OD⊥BC,可知OK⊥PQ.
由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四点共圆,有∠FOQ=∠FKQ.
由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆,有∠EOP=∠EKP.
显然,∠FKQ=∠EKP,可知∠FOQ=∠EOP.
由OF=OE,可知Rt△OFQ≌Rt△OEP,则OQ=OP.
于是,OK为PQ的中垂线,故QK=KP.
所以,AK平分BC.
由OD⊥BC,可知OK⊥PQ.
由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四点共圆,有∠FOQ=∠FKQ.
由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆,有∠EOP=∠EKP.
显然,∠FKQ=∠EKP,可知∠FOQ=∠EOP.
由OF=OE,可知Rt△OFQ≌Rt△OEP,则OQ=OP.
于是,OK为PQ的中垂线,故QK=KP.
所以,AK平分BC.
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