已知:如图,在△ABC中,边AB上的高CF,边BC上的高与边CA上的高BE交于点H,连接EF,AH和BC的中点为N,M求证：MN是线段EF的中垂线15分钟用直角三角形的性质

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已知:如图,在△ABC中,边AB上的高CF,边BC上的高与边CA上的高BE交于点H,连接EF,AH和BC的中点为N,M
求证：MN是线段EF的中垂线
15分钟用直角三角形的性质

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答案和解析

证明：连FM,EN,FN,EN
因为CF是AB边上的高
所以CF⊥AB
所以∠BCF=90°
又M是BC的中点
所以BM=CM
所以FM是直角三角形BCF斜边的中线,
所以FM=BC/2,
同理EM是直角三角形BCE斜边BC的中线
所以EM=BC/2
所以MF=ME
所以M在EF的垂直平分线上,
同理NF=NE
所以N在EF的垂直平分线上
所以MN是线段EF的中垂线

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