在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中,点E是棱BC的中点,点E是棱CD上的动点,试确定F的位置,使得D1E垂直...在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中,点E是棱BC的中点,点E是棱CD上的动点,试确定F的位置,使得D1E垂直

Question

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中,点E是棱BC的中点,点E是棱CD上的动点,试确定F的位置,使得D1E垂直...
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D中,点E是棱BC的中点,点E是棱CD上的动点,试确定F的位置,使得D1E垂直平面AB1F

Answer 1

解法一：（I）连接A1B,则A1B是D1E在面ABB1A；内的射影
∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1,
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E⊥AF．
连接DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影．
∴D1E⊥AF⇔DE⊥AF．
∵ABCD是正方形,E是BC的中点．
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F．
解法二：以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
（1）设DF=x,则A（0,0,0）,B（1,0,0）,D（0,1,0）,
A1（0,0,1）,B（1,0,1）,D1（0,1,1）,E(1,12,0),F（x,1,0）∴D1E→=(1,-12,-1),AB1→=(1,0,1),AF→=(x,1,0)
∴D1E→•AB1→=1-1=0,即D1E⊥AB1
于是D1E⊥平面AB1F⇔D1E∪AF⇔D1E→•AF→=0⇔x-12=0
即x=12．故当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F