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(2013•白下区二模)D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC平面上的一动点,连接OB、OC,G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.(1)如图,当点O在
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(2013•白下区二模)D、E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB、AC的中点.O是△ABC平面上的一动点,连接OB、OC,G、F分别是OB、OC的中点,顺次连接点D、G、F、E.
(1)如图,当点O在△ABC内时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,点O所在位置应满足什么条件?(直接写出答案,不需说明理由.)
(1)如图,当点O在△ABC内时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
(2)若四边形DGFE是菱形,点O所在位置应满足什么条件?(直接写出答案,不需说明理由.)
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵D、E分别是边AB、AC的中点.
∴DE∥BC,DE=
BC.
同理,GF∥BC,GF=
BC.
∴DE∥GF,DE=GF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)解法一:点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上.
∵由(1)得出四边形DEFG是平行四边形,
∴点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上时,
可得GD=
AO,GE=
BC,
∴DG=GE,
∴平行四边形DEFG是菱形;
解法二:点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点.
解法三:过点A作BC的平行线l,点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括l与⊙A的两个交点.
∴DE∥BC,DE=
1 |
2 |
同理,GF∥BC,GF=
1 |
2 |
∴DE∥GF,DE=GF.
∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)解法一:点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上.
∵由(1)得出四边形DEFG是平行四边形,
∴点O的位置满足两个要求:AO=BC,且点O不在射线CD、射线BE上时,
可得GD=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴DG=GE,
∴平行四边形DEFG是菱形;
解法二:点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点.
解法三:过点A作BC的平行线l,点O在以A为圆心,BC为半径的一个圆上,但不包括l与⊙A的两个交点.
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