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如图,∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点.(1)如图1,若A、C、D三点共线,求∠PAC的度数;(2)如图2,若A、C、D三点不共线,求证:AP⊥DP;(3)如图3,若点C线段BE上
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如图,∠BAC=60°,∠CDE=120°,AB=AC,DC=DE,连接BE,P为BE的中点.
(1)如图1,若A、C、D三点共线,求∠PAC的度数;
(2)如图2,若A、C、D三点不共线,求证:AP⊥DP;
(3)如图3,若点C线段BE上,AB=1,CD=2,请直接写出PD的长度.
(1)如图1,若A、C、D三点共线,求∠PAC的度数;
(2)如图2,若A、C、D三点不共线,求证:AP⊥DP;
(3)如图3,若点C线段BE上,AB=1,CD=2,请直接写出PD的长度.
▼优质解答
答案和解析
(1) 如图1,延长AP,DE,相交于点F,
∵∠BAC=60°,∠CDE=120°
∴∠BAC+∠CDE=180°,
∵A,C,D三点共线,
∴AB∥DE,
∴∠B=∠PEF,∠BAP=∠EFP,
在△ABP与△FEP中,
,
∴△ABP≌△FEP(AAS),
∴AB=FE,
∵AB=AC,DC=DE,
∴AD=DF
∴∠PAC=∠PFE,
∵∠CDE=120°,
∴∠PAC=30°;
(2)证明:如图2,延长AP到点F,使PF=AP,连接DF,EF,AD,
在△BPA与△EPF中,
,
∴△BPA≌△EPF(SAS),
∴AB=FE,∠PBA=∠PEF,
∵AC=BC,
∴AC=FE,
在四边形BADE中,∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°,
∵∠BAC=60°,∠CDE=120°,
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°.
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA,
∴∠ACD=∠FED,
在△ACD与△FED中,
,
∴△ACD≌△FED(SAS),
∴AD=FD,
∵AP=FP,
∴AP⊥DP;
(3) 连接AP,AD,
∵∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵DC=DE,∠CDE=120°,
∴∠DCE=30°,
∴∠ACD=90°,
∵AB=AC=1,CD=2,
∴AD=
,
由(2)知,AP⊥PD,
∴A、C、P、D四点共圆,
∵∠PCD=30°,
∴∠PAD=30°,
∵在Rt△APD中,∠PAD=30°,
∴PD=
.
∵∠BAC=60°,∠CDE=120°
∴∠BAC+∠CDE=180°,
∵A,C,D三点共线,
∴AB∥DE,
∴∠B=∠PEF,∠BAP=∠EFP,
在△ABP与△FEP中,
|
∴△ABP≌△FEP(AAS),
∴AB=FE,
∵AB=AC,DC=DE,
∴AD=DF
∴∠PAC=∠PFE,
∵∠CDE=120°,
∴∠PAC=30°;
(2)证明:如图2,延长AP到点F,使PF=AP,连接DF,EF,AD,
在△BPA与△EPF中,
|
∴△BPA≌△EPF(SAS),
∴AB=FE,∠PBA=∠PEF,
∵AC=BC,
∴AC=FE,
在四边形BADE中,∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°,
∵∠BAC=60°,∠CDE=120°,
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°.
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°,
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA,
∴∠ACD=∠FED,
在△ACD与△FED中,
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∴△ACD≌△FED(SAS),
∴AD=FD,
∵AP=FP,
∴AP⊥DP;
(3) 连接AP,AD,
∵∠BAC=60°,AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵DC=DE,∠CDE=120°,
∴∠DCE=30°,
∴∠ACD=90°,
∵AB=AC=1,CD=2,
∴AD=
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由(2)知,AP⊥PD,
∴A、C、P、D四点共圆,
∵∠PCD=30°,
∴∠PAD=30°,
∵在Rt△APD中,∠PAD=30°,
∴PD=
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