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如图,在三棱锥D-ABC中,平面ADC垂直平面ABC,AD垂直平面DCB,AD=CD=2,AB=4,M为线段AB的中点(1)求BC垂...如图,在三棱锥D-ABC中,平面ADC垂直平面ABC,AD垂直平面DCB,AD=CD=2,AB=4,M为线段AB的中点(1)求BC垂直平

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如图,在三棱锥D-ABC中,平面ADC垂直平面ABC,AD垂直平面DCB,AD=CD=2,AB=4,M为线段AB的中点 (1)求BC垂...
如图,在三棱锥D-ABC中,平面ADC垂直平面ABC,AD垂直平面DCB,AD=CD=2,AB=4,M为线段AB的中点
(1)求BC垂直平面ACD
(2)求二面角A-CD-M的余弦值
▼优质解答
答案和解析
取AC中点E,连结DE,
∵AD⊥平面BCD,CD∈平面BCD,BC∈平面BCD,
∴AD⊥CD,AD⊥BC,
∵AD=CD,
∴△ADC是等腰RT△,
∴DE⊥AC,
∵平面ADC⊥平面ABC,
∴DE⊥平面ABC,
∵BC∈平面ABC,
∴DE⊥BC,
∵DE∩AD=D,
∴BC⊥平面ACD.
2、由前所述,∵BC⊥平面ADC,AC∈平面ADC,CD平面ADC,
∴BC⊥AC,BC⊥CD,
∴△ABC是RT△,
AD=CD=2,
AC=2√2,
BC=√(AB^2-AC^2)=2√2,
BD=√(CD^2+BC^2)=2√3,
MC=DM=AB/2=2,直角三角形(斜边中线等于斜边一半)
取BD中点N,连结MN、CN,
则MN是RT△ABD中位线,
MN//AD,
∵AD⊥平面BCD,
∴MN⊥平面BCD,
则△DCN是△DMC在平面BCD上的投影,
设二面角M-CD-B的平面角为θ1,
S△DCN=S△MDC*cosθ1,
∵△MDC是正△,边长为2,
∴S△MDC=√3*2^2/4=√3,
S△DNC=S△BCD/2=(2*2√2/2)/2=√2,
∴*cosθ1= S△DCN/ S△MDC=√2/√3=√6/3,
sinθ1=√(1-6/9)=√3/3,
∵平面ADC⊥平面BCD,
∴二面角B-DC-A=90°,
∴二面角A-CD-M=90°-二面角B-CD-M,
设二面角A-CD-M平面角为θ,
∴cosθ=sinθ1=√3/3,
即二面角A-CD-M的余弦为√3/3.